一、板状体电场的计算

由上可知，对于任意形状均可采用数值计算方法求解积分方程（11.1.13）式，对于板状体，由于形状简单，因而可采用一些特殊的做法，特别是它能够求出系数矩阵元素中积分项的解析表达式，所以计算精度较高，或者说在保证同样精度的条件下，划分表面的小面积个数，可以比用近似法计算的划分个数少一些，这就可以节约内存和计算工作量，这对于数值计算是很有价值的，同时板状体可以很好地近似模拟多种形状地质体。对于倾斜板状体，通过坐标旋转的方法可以化为在新坐标系下的直立板状体，所以下面以直立板状体为基础，具体推导板状体电场的计算公式。

11.3.1直立板状体

板状体电场的计算，仍然采用前述的数值计算方法，先求解积分方程（11.1.13）式，得到表面积累电荷密度q的分布，然后就可以方便地求出空间任意点的电位，从而计算出板状体在各种装置下的视电阻率异常值。下面首先介绍求解积分方程（11.1.13）式的计算方法，可以采用两种做法。

11.3.1.1第一种做法

首先将表面划分成许多小矩形，如图11.3所示，当小矩形划分得足够小时，不仅可以将小面积内的q视为常数而且可以将

和

也视为常数，于是线性方程组（11.2.2）中的系数矩阵元素的积分项，可以采用近似公式（11.2.6）和（11.2.7）式求得。而

地球物理数据处理教程

右端项元素

地球物理数据处理教程

式中（cosα，cosβ，cosγ）为第i个小矩形面的外法线方向余弦，各量含义见图11.3。

图11.3板状体表面的离散

由图11.3可见同一平面上的各小矩形面之间的作用为零，例如上顶面α=β=90°，cosα=cosβ=0且

zj=zi

故

地球物理数据处理教程

其余各面均有类似的情况，于是对于板状体的计算可以大大地简化，另外直立板状体的外法线方向总是平行于某一坐标轴的，因此可以进一步简化（11.3.1）式和（11.3.2）式的计算。

例如：i位于上顶面，有

α=β=90°，γ=180°，

cosα=cosβ=0，cosγ=-1

于是得到，当j位于除上顶面以外的任何面上时，

地球物理数据处理教程

对于虚源部分可以化简化

地球物理数据处理教程

对于右端项计算可以化简为

地球物理数据处理教程

其余情况即i位于任何面上时，均可有类似的简化公式。

系数矩阵和右端项计算完后，就可求解线性方程组（11.2.2）得到q的分布，然后利用（11.1.12）式的近似式可以方便地计算出地面任意P点的电位

地球物理数据处理教程

11.3.1.2第二种做法

同样将表面划分为小矩形，将小矩形内的qi视为常数，即得到线性方程组（11.2.2）式系数矩阵中的积分项，可用下列解析表达式计算。

当ΔSj面平行于xoy面时，有dS=dxjdyi

再设

α1≤xj≤α2，b1≤yj≤b2

则有

地球物理数据处理教程

由于

地球物理数据处理教程

同理

地球物理数据处理教程

而第三项

地球物理数据处理教程

地球物理数据处理教程

详细证明可以参考有关书籍。这样

地球物理数据处理教程

当ΔSj面平行于xoz面时，有dS=dxjdzj设

α1≤xj≤α2，c1≤zj≤c2

用上面类似的推导方法可得

地球物理数据处理教程

当ΔSj面平行于yoz面时，有dS=dyjdzj并设

b1≤yj≤b2，c1≤zj≤c2

同样可得：

地球物理数据处理教程

对于

地球物理数据处理教程

同样可以得到三种不同情况下的小矩形面的积分表达式。

当ΔSj面平行于xoy平面时，有

地球物理数据处理教程

当ΔSj面平行于xoz平面时，有

地球物理数据处理教程

当ΔSj面平行于yoz平面时，有

地球物理数据处理教程

上面各式均是从j所在的平面位置给出不同表达式，在使用时还可以结合i所在平面的外法线方向余弦的特点，将上述公式简化如下。

当i位于上顶面时cosα=cosβ=0，cosγ=-1

于是上面各式分别得到简化形式如下：

当j位于平行于xoy平面时

地球物理数据处理教程

当j位于平行于xoz平面时

地球物理数据处理教程

当j位于平行于yoz平面时

地球物理数据处理教程

类似地可以得出其他有关各式。

对于其他各面均有类似的特点，因而可以分别情况，得出一套简化公式，利用简化公式进行计算将大大地减少计算工作量，简化公式的形式在下面讨论。

利用上述公式计算出（11.2.2）式的系数矩阵，右端项仍采用（11.3.2）式计算，然后求解线性方程组得到q分布。

下面介绍已知q分布以后，求取地面点的电位值的方法，这里仅将小矩形中的qi视为常数，而其余部分用解析表达式给出，从（11.1.12）式可知：

地球物理数据处理教程

下面介绍积分项的表达式。

当ΔSi平行于xoy平面时dS=dxidyi

地球物理数据处理教程

利用分步积分法，可推导出上式积分，设

地球物理数据处理教程

式中：

地球物理数据处理教程

上式第一项与yi无关，代入前面yi的积分限即为零，于是只有第二项

地球物理数据处理教程

式中

地球物理数据处理教程

可以证明

地球物理数据处理教程

代入原式得到

地球物理数据处理教程

同样可类似地求得ΔSi平行于yoz平面时

地球物理数据处理教程

当ΔSi平行于xoz平面时

地球物理数据处理教程

分不同情况，将（11.3.17）、（11.3.18）、（11.3.19）式代入（11.3.16）式中，即可计算出地面上各测点的电位值。

直立板状体除了有上述的解析表达式及其简化形式以外，还可以在求取各小矩形中心点坐标时，带来很多方便，它只需要给出板状体的某一个角点坐标，例如距坐标原点最近的角点坐标（x0，y0，z0）以及划分小矩形的有关参数，即可方便地在程序中自动形成各小矩形的中心坐标（xi，yi，zi）。

11.3.2倾斜板状体

前已叙述，计算倾斜板状体只需要进行坐标旋转，变成新坐标系下的直立板状体，即可用类似于直立板状体的公式进行计算，因此对应于直立板状体的两种算法，倾斜板状体也就相应地有以下两种算法。

11.3.2.1采用直立板状体的第一种算法

从公式（11.3.1）和（11.3.2）可见，只需要求出各个面上外法线的方向余弦即可，下面介绍两种方法来计算。

11.3.2.1.1利用坐标旋转后新坐标轴在原坐标系中的方向余弦来计算

图11.4倾斜板状体轴示意图

设倾斜板状体的倾角为β，偏角为α，如图11.4所示，按照一般的坐标旋转的方法，将原坐标系绕z轴旋转α角，绕新的y轴旋转β角，即得新坐标系 ox′y′z（为方便，称为实源坐标系），在ox′y′z坐标中，倾斜板状体变为直立板，这时各面的外法线方向正好与新坐标轴平行，利用新坐标轴在原坐标系中的方向余弦可以得出各面外法线方向余弦。根据坐标旋转矩阵T，可得各坐标轴的方向余弦（在oxyz坐标系中）如下。

因为变换矩阵T为

地球物理数据处理教程

所以新x轴的方向余弦为cosαcosβ，sinα，-cosαsinβ

新y轴的方向余弦为-sinαcosβ，cosα，sinαsinβ

新z轴的方向余弦为sinβ，0，cosβ

而倾斜板状体上下面的外法线方向正好是新z轴的反向和正向；左右面外法线方向正好是新x轴的反向和正向；前后面外法线方向正好是新y轴的反向和正向。

11.3.2.1.2利用叉乘方向计算各面的方向余弦

图11.5地质体各面方向余弦的计算

如图11.5所示，图中

方向即是上顶面第一个小矩形中心点与沿x方向的第二个小矩形中心点的连线方向，

方向即是上顶面第一个小矩形中心点与沿y方向的第二小矩形中心点的连接方向，

方向即是

和

的叉乘方向。于是

就是右面的外法线方向，

就是后面的外法线方向，

就是下底面的外法线方向，而左面、前面及上顶面的外法线方向分别为

、

、

的反向，所以它们的方向余弦可用下列公式表示。

设上顶面第一个小矩形为ΔS11，它的中心坐标为（x11，y11，z11），沿x方向的第二个小矩形为ΔS12，它的中心坐标为（x12，y12，z12），沿y方向的第二个小矩形ΔS21，它的中心坐标为（x21，y21，z21），如图11.5所示。

的方向余弦

地球物理数据处理教程

的方向余弦

地球物理数据处理教程

的方向为

和

叉乘的方向，这里采用z轴向下的左手坐标系，于是

的方向余弦为

地球物理数据处理教程

当各面的方向余弦计算出来以后，可以利用（11.3.1）式和（11.3.2）式计算线性方程组（11.2.2）系数矩阵中的各元素。

至于各小矩形中心点坐标的求取，可采用下列简单方法，首先将原坐标系中所给出的某一角点（如最近点）的坐标（x0，y0，z0）变换到ox′y′z′中去，即是（x′0，y′0，z′0）

地球物理数据处理教程

这里T为（11.3.20）式所表达的变换矩阵。然后在ox′y′z′坐标系中形成各小矩形中心坐标（这时板状体为直立的，因而计算十分方便），最后将中心点的坐标全部变回到原坐标系中来，只需要计算下式：

地球物理数据处理教程

式中TT为变换矩阵的转置矩阵，因为T为正交矩阵，所以逆矩阵T-1与转置矩阵TT是相同的。

以上是对应于直立板状体第一种算法的倾斜板状体的计算方法。

11.3.2.2采用直立板状体的第二种算法

即采用（11.3.7）式到（11.3.19）式解析表达式计算（11.2.2）系数矩阵中各元素的积分项，以及计算电位的（11.1.12）式中的积分项，由于这些表达式是在直立板状体的条件下推出的，要求各面分别平行于坐标平面，所以要求倾斜板状体必须在变成直立板状体的条件下才能使用，于是可采用下面的坐标旋转的方法。

（1）计算实际倾斜板状体（简称实源）的积分项部分，即是

部分，这时采用前已叙述的 ox′y′z′坐标系，将所有有关参数全部变到 ox′y′z′中去，即可完全采用（11.3.7）、（11.3.8）和（11.3.9）式及简化公式。

（2）计算虚源的积分项部分，即是

部分，需要注意的是采用ox′y′z′坐标系时，虚源是倾斜的，所以不能计算，必须重新针对虚源进行坐标旋转，即将原坐标系绕z轴旋转α角，再绕新y旋转-β角即可，称为ox″y″z″（为方便，称为虚源坐标系，如图11.4所示），在ox″y″z″坐标系下虚源为直立板状体，实源却变成倾斜的了，于是可采用前述的求方向余弦的方法，计算出实源上第 i个小矩形面外法线的方向余弦，再利用（11.3.10）式、（11.3.11）式和（11.3.12）式计算虚源的积分项部分。

（3）在求出q分布以后，计算电位值时可采用实源坐标系，ox′y′z′，将地面各测点及供电点均化倒ox′y′z′中去，按式（11.3.17）式、（11.3.18）式和（11.3.19）式计算地面各点的电位值即可。

二、求1x3x5x7x9x11x13x……99解题方法

这是一个奇数的连乘积，可以使用数学归纳法来证明：

当 n= 1时，1= 1，成立。

当 n= 2时，1× 3= 3，成立。

假设当 n= k时成立，即 1× 3× 5×......×（2k- 1）= f（k）。

当 n= k+ 1时，我们需要证明 1× 3× 5×......×（2k- 1）×（2k+ 1）= f（k）×（2k+ 1）。

左边可以化简为（1× 3× 5×......×（2k- 1））×（2k+ 1）= f（k）×（2k+ 1），即左边等于右边，成立。

由归纳法可知，1× 3× 5×......× 99= f（50），其中 f（k）表示形如 1× 3× 5×......×（2k- 1）的奇数的连乘积，因此：

1× 3× 5×......× 99= f（50）= 1× 3× 5×......× 99=（2k+ 1）^（k+ 1）/（k+ 1）！

其中 k= 49，代入得：

1× 3× 5×......× 99= 47486981615654400000/ 1.429291e+76≈ 3.71e-46

因此，1× 3× 5×......× 99约等于 3.71× 10^-46，可以用科学计数法表示。

三、11x11至25x25快速算法有哪些

可以借助规律进行背诵，具体规律如下：

先记住11的平方是121，然后依次接下来的数的平方依次增加 23、25、27、29、31、33、35、37、39，就能知道11到20的平方了，如11的平方是121，121+23=144就是12的平方，144+25=169是13的平方，以此类推。

小学数学简便方法归纳

1、提取公因式：这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。

2、借来借去法：看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。

3、拆分法：拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。

四、11x11至25x25快速算法

11×11至25×25的快速算法解析

11×11的算法：

首先，将11拆分为10+1，然后应用分配律，即(a+b)×c=ac+bc，得到：

11×11=(10+1)×11= 10×11+ 1×11= 110+ 11= 121。

20×20的算法：

将20拆分为10×2，然后应用结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)，得到：

20×20= 10×2×20= 10×(2×20)= 10×40= 400。

21×21的算法：

将21拆分为20+1，然后应用分配律，即(a+b)×c=ac+bc，得到：

21×21=(20+1)×21= 20×21+ 1×21= 420+ 21= 441。

22×22的算法：

将22拆分为20+2，然后应用分配律，即(a+b)×c=ac+bc，得到：

22×22=(20+2)×22= 20×22+ 2×22= 440+ 44= 484。

23×23的算法：

将23拆分为20+3，然后应用分配律，即(a+b)×c=ac+bc，得到：

23×23=(20+3)×23= 20×23+ 3×23= 460+ 69= 529。

24×24的算法：

将24拆分为20+4，然后应用分配律，即(a+b)×c=ac+bc，得到：

24×24=(20+4)×24= 20×24+ 4×24= 480+ 96= 576。

25×25的算法：

将25拆分为20+5，然后应用分配律，即(a+b)×c=ac+bc，得到：

25×25=(20+5)×25= 20×25+ 5×25= 500+ 125= 625。